Мaтeмaтичeскиe физики зaявили o прoдвижeнии в дoкaзaтeльствe 150-лeтнeй тeoрeмы, зa дoкaзaтeльствo кoтoрoй Мaтeмaтичeский институт Клэя прeдлaгaeт награду в миллион долларов. Ученые представили оператор, который удовлетворяет гипотезе Гильберта-Пойя, гласящей, что существует дифференциальный оператор, чьи собственные значения в точности соответствуют нетривиальным нулям дзета-функции Римана. Статья опубликована в журнале Physical Review Letters.
Гипотеза Римана — одна из «задач тысячелетия», за доказательство которых американский Математический институт Клэя выдает премии в миллион долларов. Гипотеза Пуанкаре (теорема Пуанкаре-Перельмана), которую доказал наш соотечественник Григорий Перельман, входила именно в этот список. Гипотеза Римана, сформулированная в 1859 году, гласит, что все нетривиальные нули дзета-функции Римана (то есть значения комплекснозначного аргумента, обращающие функцию в нуль) лежат на прямой ½ + it, то есть их вещественная часть равна ½. Сама дзета-функция возникает во многих разделах математики, например, в теории чисел она связана с количеством простых чисел, меньших заданного.
Теория функций предсказывает, что множество нетривиальных нулей дзета-функции должно быть похоже на множество собственных значений («решений» для матричных уравнений) некоторой другой функции из класса дифференциальных операторов, которые часто используются в физике. Идея о существовании конкретного оператора с такими свойствами получила название гипотезы Гильберта-Пойя, хотя ни тот, ни другой не публиковали работ на эту тему.
«Так как публикаций «авторов» на эту тему нет, то формулировка гипотезы меняется в зависимости от интерпретации, — поясняет один из авторов статьи Дорже Броди из лондонского Университета Брунеля. — Однако два пункта должны быть выполнены: а) необходимо найти оператор, чьи собственные значения соответствуют нетривиальным нулям дзета-функции, и б) определить, что собственные значения являются действительными числами. Основной целью нашей работы был пункт а). Для доказательства части б) необходима дальнейшая работа».
Еще одной важной гипотезой в этой области является идея Берри и Китинга, что в случае существования искомого оператора, он будет теоретически соответствовать некоторой квантовой системе с определенными свойствами.
«Мы определили условия квантования гамильтониана Берри—Китинга, таким образом, доказывая гипотезу их имени, — добавляет Броди. — Возможно, это разочарует, но полученный гамильтониан, кажется, не соответствует никакой физической системе очевидным образом; по крайней мере, мы не нашли такого соответствия».
Наибольшую сложность представляет доказательство действительности собственных значений. Авторы оптимистично настроены по этому поводу, в статье присутствует подкрепляющий аргумент, основанный на PT-симметрии. Эта идея из физики частиц означает, что при замене всех направлений четырехмерного пространства-времени на обратные, система будет выглядеть так же. Природа в общем случае не PT-симметрична, однако, полученный оператор обладает этим свойством. Как показано в статье, если доказать нарушение этой симметрии для мнимой части оператора, то все собственные значения будут вещественными, таким образом завершая доказательство гипотезы Римана.
